نظام الأعداد
هل هناك نظم أخرى؟ تحدثنا عن النظام الثنائى و الثمانى و الستة عشر !
ماذا نتوقع بعد ذلك؟
نسأل أنفسنا لماذا أصلا توجهنا للأسلوب الرقمى؟ والإجابة لدقة نقل المعلومات.
إذن تخيل معى أنك ترسل بيانات على 8 خطوط معا على التوازى � هذا يساوى رقمين هيكسا أو ترسل بياناتك على التوالى 8 كل مرة.
ماذا لو لا أحتاج هيكسا و أريد أن أرسل أرقام عشرية عادية؟
إذن يمكن أن أرسل رقمين كل منها من صفر على 9 وهو نظام ظريف وقد اعتدناه و أطلق عليه اسم NBCD اختصار لكلمات National Binary Coded Decimal أى الرقم العشرى بشفرة ثنائية و كلمة National أى القومى فى الأول كناية عن المؤسسة التى أطلقت الاسم.
ولكن هذا رائع على المسافات القصيرة ، أما فى المسافات الطويلة ، قد ينقطع الكابل و أستقبل أصفار وهى قيمة وقد تسبب إرباك للأنظمة .
حسنا أريد أرقام من صفر إلى 9 ولدى 16 تركيبة لذا يمكننى أن أضيف رقم ثابت للعدد الذى أريد إرساله فمثلا نضيف 3 وهو أشهر الأرقام التى استخدمت فيكون الصفر أرسل بدلا منه 3 والواحد أرسل 4 وهكذا حتى 9 أرسل بدلها C بالهيكسا و هكذا يكون كل من الصفر و F دلالة على أن الكابل به عيب. هكذا حددنا نوع من الخطأ و كشفناه.
هذا النظام يسمى "زائد ثلاثة" أو Excess Three أو يسمى Excess-3 و مازال مستخدما لتقليل الخطأ.
ماذا لو لدينا جهاز تشفير لحركة محور دوران و نريد أن نرسل بياناته إلى حاسب بعيد للتحليل مثلا جهاز مركب على هوائى رادار بأعلى المبنى و نريد إرسال بيانات هذا المشفر للحاسب داخل المبنى ليحدد زاويته؟
الكابل الطويل عرضة للضوضاء من الموتورات و أجهزة الإرسال الخ لهذا نريد طريقة تحدد متى حدث هذا الخطأ
اقترح العالم فرانسيس جراى شفرة خاصة سميت باسمه Gray Code وهو ترتيب الأرقام من صفر إلى 15 ووضع أمامها الشفرة الثنائية بطريقة بحيث يحدث الانتقال من أى رقم للتالى له تغييرا فى خط واحد فقط إذن لو حدث تغييران معا أو أكثر تكون القيمة خاطئة و الرابط التالى يبين قرص ضوئى مشفر بهذه الشفرة هذه صورة قرص ضوئى مشفر بهذه الشفرة له ثمانى أقسام ولكن من السهل زيادة لأى عدد من الأقسام حيث الأقراص المقسمة إلى 4096 قسما ليست غريبة.
هذه الشفرة تسمى "منعكسة" (كما فى المرآة) لأن أسهل طريقة لتكوين عدد "ن" من الأرقام هى البدء بالرقمين صفر وواحد ثم عكسهما واحد وصفر وهكذا كما فى الجدول المرفق، وللإيضاح وضعت ألوان توضح صفر-واحد بالأصفر والعكس بلون آخر هذا فى خانة الآحاد.
فى الخانة التالية (ليست العشرات ولكن اثنينات) ضاعف الأعداد فنأخذ صفر � صفر ثم واحد - واحد و نعكس وقد وضعت لون للصفر � صفر ثم واحد - واحد ولون آخر للعكس واحد - واحد ثم صفر � صفر
العمود الثالث (أربعات) نضاعف (نرابع هنا) أربع أصفار ثم أربع آحاد وهى مميزة بألوان ثم نعكس أربع آحاد ثم أربع أصفار
وهكذا فقط أرجو ملاحظة أن الرقم صفر على يساره أيضا أصفار وإن لم تكتب صراحة
الآن لو قلت لك لدى كود من مشفر عرضه 11 بت � اكتب الشفرة فى البت رقم7
سأقول نبدأ العد من بت رقم صفر إلى بت رقم 10 وهم 11 بت
تريد البت رقم 7 هى فى العمود الثامن و يحتوى ثمانى أصفار و ثمانى آحاد ثم ثمانى آحاد تليها ثمانى أصفار وهكذا
ولو كان العمود التاسع تصبح تسعة أصفار ثم تسعة آحاد والعكس وهكذا
سهلة أليس كذلك؟
الأعداد السالبة والأعداد الموجبة
لا يوجد فى الطبيعة أعداد سالبة فمثلا لا يمكن أن نقول هذه الشجرة عليها (� 150 تفاحة) ، هذا لا معنى له وإنما هو أسلوب بشرى مقترح لتبيان حركة عكس الاتجاه المطلوب أى دوران لليسار بدلا من اليمين (أو العكس إن كان المطلوب هو اتجاه اليسار) أى أن السالب هذا مقدار نسبى بحت وغير موجود فى الطبيعة.
هل تريد مثال على هذا؟ هل لديك كاسيت أو أى مسجل يعمل بشريط؟ ستجد العداد من ثلاث خانات فى جهاز الكاسيت أى من 000 إلى 999 و طالما تقدم الشريط زاد العد حتى يصل إلى 999 و بعدها بخطوة تجد صفر
هل 999+1= صفر؟
و لو كنت عند أغنية ما و عدت إدراجك تجد 128 ، 127 ، 126 , , , , 3، 2 ، 1 ، صفر ، 999 ، 998
هل 999 = (-1)؟ ولكنها تعنى واحد للوراء.
الآن لننتقل لجهاز الفيديو ستجد له أربعة خانات. بعد 999 ستجد 1000 ثم 1001 وهكذا أليست الأعداد هى ذاتها الأعداد أم ماذا؟
هذا هو الفرق بين أعداد الورق والقلم الغير محدودة الخانات والأعداد المقيدة بعدد خانات محدود ثابت.
فى أعداد الورق والقلم الغير محدودة الخانات احتاجنا لأن نضع علامة (-) لتحديد أن هذا الرقم سالب لكن فى حال المقيدة بعدد خانات محدود ثابت تجد أنك لا تجد مكان لهذه العلامة ومن ثم لا مفر سوى أن نقسم هذه الخانات لقسمين نعتبر نصفها موجبا و النصف الآخر سالبا أى ونحن نقف عند الصفر ثم نعود خطوة سنجد 999 إما نمسح الرقم ونكتب -1 أو نتركه و نقول لو لن أعتبر الأرقام السالبة سيكون هذا 999 و إن اعتبرت سيكون سالب واحد وهكذا 998 = -2 وهكذا
وفى حال العداد الآخر (الفيديو) سيكون 9999 = -1 و 9998 = -2 فهى دوما نصف العد الذى يتيحه لنا العداد.
أى نصف هذا؟
من صفر إلى 499 يكون موجبا و من 500 إلى 999 سالبا
فى النظام الثنائى لن نجد خلافا سوى فى التعبير عن أرقام النظام مثلا لو 4 خطوط يكون
من OOOO إلى Olll موجبا و من 1000 إلى 1111 سالبا
ولو من 8 خطوط ستكون من 0000 0000 إلى 0111 1111 موجبا و من 1000 0000 إلى 1111 1111 سالبا
أمثلة عددية على العمليات الحسابية
لنبدأ بالنظام العشرى أولا لنرى كيف تسير الأمور
مثلا لو أردنا جمع 246 + 391 سنقول 6+1 =7 ثم نقول 4+9 = 13 أى نكتب 3 و نحمل معنا 1 للجمع التالى (لا نقول أنه 10 أو مائه أو غيره) ثم نقول 1 + 2+3=6 ليكون المجموع 637
نفس المنطق يطبق فى أى نظام حسابى فقط يجب مراعاة أساسه فلو كان عشرى لا نزيد عن 9 و بالمثل لو ستة عشرى لن نزيد عن 15 وهكذا.
بالمثل لو أردنا جمع 654 + 752 سنقول 4+2=6 ، 5+5= صفر و نحمل 1 ، ثم 1+6+7=14 أى الناتج هو 1406
على قدر ما يبدو هذا بديهيا و لا جدوى من نقاشه على قدر ما يثير القلق لو كان لدينا زوج من العدادات ثلاثية الأرقام كعدادات الكاسيت ونود تنفيذ تلك العملية لأن الناتج يجب أن يكون فى ثلاث خانات فقط أى الناتج سيكون 406 ويضيع الواحد المعبر عن 1000
الحياة لا تقف عند ثلاثة أعداد و يجب أن نستطيع العد والحساب لأكثر من هذا بكثير، من هنا و نظرا لحدود الأدوات ، نستخدم الأسلوب المرحلى أى نجمع كل مجموعة من ثلاث أرقام و نركب الناتج النهائى وهنا يظهر لنا الحاجة لخانة مستقلة عن العدادات تحتفظ بالمحمول من عملية للتالية � وهو الواحد فى المثال السابق � لنستخدمه فى العملية التالية لباقى الأرقام فمثلا لجمع 444555666777 + 111222333888 سنجمع 777+888 فى أول مرة و تكون النتيجة 665 و نحمل معنا 1 لعملية جمع 666+333 فيكون الناتج 000 ونحمل 1 لعملية جمع 555+222 فينتج 778 و نحمل صفر لعملية جمع 444+111=555
نلاحظ أن جمع أكبر رقمين هما 999+999=998 ونحمل 1 أيضا أى مهما كان الرقم كبيرا فالمحمول إما صفر أو واحد. هذه الحقيقة تسهل عمل العدادات لاحقا.
بتطبيق نفس القاعدة على النظم الأخرى نجد أنها تعمل بنفس الطريقة فمثلا الثنائى كل ما علينا تذكره أن
1+1=10 وتنطق واحد صفر ولا تنطق "عشرة" لأنه لا يوجد لدينا سوى واحد و صفر.
نأخذ أمثله على جمع الأعداد الثنائية
1011+1101 = نقول 1+1 = 0 و معانا واحد
1+0 + الواحد = 0 ومعانا واحد
0+1 + الواحد = 0 ومعانا واحد
1+1 + الواحد = واحد و معانا واحد
فيكون الناتج النهائى 11000
مثال بالنظام ستة عشر
1a23+bc1a سنقول a + 3 = d
1+2 =3
c + a = 6 ومعانا واحد أى الإجابة واحد ستة ولا نقول ستة عشر
b +1 + الواحد = d
والإجابة النهائية هى
d63d
لنجرب عملية الطرح إذن.
لو أردنا مثلا طرح 653-231 ستكون العملية سهلة إذ نقول 1 من 3 يبقى 2 و ثلاثة من 5 يبقى 2 و اثنان من 6 يبقى 4
لو أردنا مثلا طرح 653-281 ستكون العملية هذه المرة 1 من 3 يبقى 2 و ثمانية من 5 ، لا يصح لذا يجب "استعارة" واحد من الستة وهو يساوى 10 تضاف للخمسة لتصبح 15 فنقول 8 من 15 يبقى 7 و اثنان من 5 يبقى 3
هذه المشكلة وجدت حلها بالاستعارة من الرقم الأعلى
نفس الكلام على باقى النظم فقط نتذكر أن الواحد المستعار يوضع بقيمة النظام أى = 16 فى نظام الستة عشر و =2 فى النظام الثنائى
لكن لا توجد دائرة للطرح و سبق أن قلنا أن كل العمليات الحسابية تتم بالجمع
إذن إلى المرة القادمة بإذن الله نناقش الطرح بالجمع